Space w kolumnie macierzy

Algebra liniowa to szeroki temat matematyki z aplikacjami w różnych sytuacjach w świecie rzeczywistym, szczególnie w uczeniu maszynowym. Matryce i wektory to podstawowe elementy składowe algebry liniowej i są używane w różnych procedurach i narzędziach. Space w kolumnie macierzy zostanie omówiona w tym artykule. Przejdziemy również kilka niezbędnych terminologii w celu zrozumienia przestrzeni kolumny matrycy.

Jaki jest zakres wektora?

Rozpiętość oznacza po prostu, że biorąc pod uwagę zestaw wektorów, jeśli do tego zestawu wektorów zastosuje się jakąkolwiek kombinację liniową i pozostaje w tej przestrzeni wektorowej, obejmuje tę przestrzeń wektorową. Oznacza to, że jeśli pomnożysz jakikolwiek skalar przez określony wektor, pozostanie on w tym wymiaru, niezależnie od tego, czy pracujesz z pierwszym, drugim, trzecim lub nth. Mówi się, że „obejmuje” wszędzie w tym wymiarze. Po pomnożeniu zestawu wektorów przez skalar, po prostu wskazuje, że zestaw wektorów, z którymi pracujesz, może pokryć (lub być umieszczony w dowolnym miejscu) pełny wymiar (lub przestrzeń wektorowa), z którą pracujesz.

Czym jest kombinacja liniowa?

Załóżmy, że masz zestaw obiektów matematycznych x₁… .X_N, które obsługują mnożenie skalarne i dodawanie (e.G., członkowie pierścienia lub przestrzeni wektorowej), a następnie y = a₁X₁+A₂X₂+… A_NX_N (gdzie AI są niektórymi wartościami skalarnymi). Najpopularniejszą ilustracją jest wykorzystanie wektorów 3D w przestrzeni euklidesowej. Wektor, który znajduje się w tej samej płaszczyźnie przez pochodzenie, co oryginalne dwa wektory umieszczone na początku, jest liniową kombinacją dowolnych dwóch takich wektorów.

Co to są przestrzenie wierszy i kolumn?

Załóżmy, że a jest macierzą MXN na polu F. Następnie w rzędach znajdują się wektory komponentowe, a są ich m. Podobnie każdy wektor komponentu M jest reprezentowany przez N kolumny. Podprzestrzeń F^N utworzone przez wektory wierszy to przestrzeń A A, a jego elementy są liniowymi kombinacjami wektorów wiersza. Ta przestrzeń ma wymiar, a kolumny zmuszają takie relacje między wierszami i odwrotnie. Podobnie, przestrzeń kolumny macierzy jest podprzestrzeni^M utworzone przez wektory kolumny macierzy. Chociaż ta przestrzeń różni się od przestrzeni rzędowej, ma takie same wymiary jak przestrzeń rzędowa, ponieważ każda liniowa zależność między kolumnami nakłada również takie relacje między wierszami i odwrotnie.

Nurkowanie więcej w przestrzeni kolumny

Span jest bardziej fundamentalną koncepcją. Mówiąc najprościej, rozpiętości kolumn danego wektora jest tym, co nazywamy przestrzenią kolumny. Możesz wziąć wszystkie możliwe liniowe kombinacje wektorów, jeśli masz ich kolekcję. Powstała przestrzeń wektorowa jest znana jako rozpiętość oryginalnej kolekcji. Space w kolumnie jest zbiorem zestawu wszystkich możliwych liniowych kombinacji wektorów kolumnowych macierzy. Innymi słowy, jeśli wektor B w R^M może być wyrażone jako liniowa kombinacja kolumn A, znajduje się w przestrzeni kolumny A. To znaczy, b ∈ Cs (a) dokładnie wtedy, gdy istnieje skalary x₁, X₂,… , X_N tak, że

Jako produkt z wektorem kolumny, można zapisać dowolną liniową kombinację wektorów kolumnowych macierzy A:

Dlatego przestrzeń kolumny macierzy A składa się ze wszystkich możliwych produktów a*x, dla x ∈ C^N. Powyższy wynik to także obraz odpowiedniej transformacji macierzy.

Zwykle oznaczamy przestrzenie wiersza i kolumn matrycy (powiedzmy a) odpowiednio przez C (At) i C (a).

Wniosek

Ten artykuł obejmował różne tematy dotyczące przestrzeni kolumny Matrix. Rozpiętość wektora to przestrzeń, która pozostaje niezmieniona po zastosowaniu kombinacji liniowej do zbioru wektorów. Po pomnożeniu zestawu wektorów i skalarów sumowanie nazywa się kombinacją liniową. Kolekcja wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów kolumny macierzy jest przestrzenią kolumny macierzy.